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數(shù)列收斂是什么意思？想必有許多小伙伴對(duì)數(shù)列收斂存有疑惑。下面，就跟小編一起來(lái)了解一下吧。

數(shù)列收斂是什么意思

數(shù)列收斂是設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a（只有一個(gè)），對(duì)于任意給定的正數(shù)q（無(wú)論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a）。

如果數(shù)列Xn收斂，每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限。如果數(shù)列{Xn}收斂，那么該數(shù)列必定有界。推論：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散；數(shù)列有界，不一定收斂；數(shù)列發(fā)散不一定無(wú)界。數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng)（當(dāng)然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，并有l(wèi)imn→∞r(nóng)n(x)=0

數(shù)列收斂和極限的關(guān)系

數(shù)列收斂則存在極限，這兩個(gè)說(shuō)法是等價(jià)的；

數(shù)列收斂則數(shù)列必然有界，但是反過(guò)來(lái)不一定成立！例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收斂。

設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)q（無(wú)論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。數(shù)列收斂<=>數(shù)列存在唯一極限。

設(shè)有數(shù)列Xn,若存在M>0,使得一切自然數(shù)n,恒有|Xn|<M成立，則稱數(shù)列Xn有界。如果數(shù)列{Xn}收斂，那么該數(shù)列必定有界。推論：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散；數(shù)列有界，不一定收斂；數(shù)列發(fā)散不一定無(wú)界。數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

請(qǐng)問(wèn)級(jí)數(shù)收斂的判別有哪幾種

1、對(duì)于所有級(jí)數(shù)都適用的根本方法是：柯西收斂準(zhǔn)則。因?yàn)樗谋举|(zhì)是將級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化成數(shù)列，從而這是一個(gè)最強(qiáng)的判別法，柯西收斂準(zhǔn)則成立是級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件。

局限性：有一些數(shù)列的特征太過(guò)明顯，可以用更加簡(jiǎn)潔的判別法去判別，用柯西收斂原理是浪費(fèi)時(shí)間；另一方面，如果級(jí)數(shù)本身過(guò)于復(fù)雜，用柯西收斂準(zhǔn)則也未必能很快得到證明。

2、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，一個(gè)基本但不常用的方法是部分和有界，這同樣是級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件，這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)中最強(qiáng)的判別法之一，局限性也是顯然的：通常來(lái)說(shuō)一個(gè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)并不好求，用這種方法行不通，因此這個(gè)方法通常只有理論上的意義。

3、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較判別法是一個(gè)相當(dāng)有效的判別法，通過(guò)找一個(gè)新正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較通項(xiàng)，如果原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)小，新級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂；如果新級(jí)數(shù)發(fā)散，原級(jí)數(shù)通項(xiàng)大，則原級(jí)數(shù)發(fā)散，通常在判別過(guò)程中使用其極限形式。

局限性：當(dāng)級(jí)數(shù)過(guò)于復(fù)雜時(shí)，要找的那個(gè)新級(jí)數(shù)究竟是什么很難判斷，通常的方法是對(duì)原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)做泰勒展開，以找到與之等價(jià)的p級(jí)數(shù)。

4、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有積分判別法：如果x>=1且f（x）〉=0且遞減，則無(wú)窮級(jí)數(shù)（通項(xiàng)為f（n））與1到正無(wú)窮對(duì)f（x）作的積分同斂散。這個(gè)辦法對(duì)于某些級(jí)數(shù)特別有效。局限性：由于其本質(zhì)是將級(jí)數(shù)化成了反常積分，如果化成的反常積分的收斂性難以判斷，則有可能該方法就把問(wèn)題復(fù)雜化了。

5、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級(jí)數(shù)與通項(xiàng)為1/（n^alpha）的級(jí)數(shù)做比較，如果當(dāng)n充分大時(shí)，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么級(jí)數(shù)收斂。

高斯判別法將級(jí)數(shù)與通項(xiàng)為1/（n（lnn）^alpha）的級(jí)數(shù)做比較，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，則級(jí)數(shù)收斂。