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數列收斂是什么意思？想必有許多小伙伴對數列收斂存有疑惑。下面，就跟小編一起來了解一下吧。

數列收斂是什么意思

數列收斂是設數列{Xn}，如果存在常數a（只有一個），對于任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數列{Xn}收斂于a（極限為a）。

如果數列Xn收斂，每個收斂的數列只有一個極限。如果數列{Xn}收斂，那么該數列必定有界。推論：無界數列必定發散；數列有界，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數級數項的余項（當然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，并有limn→∞rn(x)=0

數列收斂和極限的關系

數列收斂則存在極限，這兩個說法是等價的；

數列收斂則數列必然有界，但是反過來不一定成立！例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收斂。

設數列{Xn}，如果存在常數a，對于任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數列{Xn}收斂于a（極限為a），即數列{Xn}為收斂數列。數列收斂<=>數列存在唯一極限。

設有數列Xn,若存在M>0,使得一切自然數n,恒有|Xn|<M成立，則稱數列Xn有界。如果數列{Xn}收斂，那么該數列必定有界。推論：無界數列必定發散；數列有界，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。

請問級數收斂的判別有哪幾種

1、對于所有級數都適用的根本方法是：柯西收斂準則。因為它的本質是將級數轉化成數列，從而這是一個最強的判別法，柯西收斂準則成立是級數收斂的充分必要條件。

局限性：有一些數列的特征太過明顯，可以用更加簡潔的判別法去判別，用柯西收斂原理是浪費時間；另一方面，如果級數本身過于復雜，用柯西收斂準則也未必能很快得到證明。

2、對于正項級數，一個基本但不常用的方法是部分和有界，這同樣是級數收斂的充分必要條件，這是正項級數中最強的判別法之一，局限性也是顯然的：通常來說一個級數的和函數并不好求，用這種方法行不通，因此這個方法通常只有理論上的意義。

3、對于正項級數，比較判別法是一個相當有效的判別法，通過找一個新正項級數，比較通項，如果原級數的通項小，新級數收斂，則原級數收斂；如果新級數發散，原級數通項大，則原級數發散，通常在判別過程中使用其極限形式。

局限性：當級數過于復雜時，要找的那個新級數究竟是什么很難判斷，通常的方法是對原級數的通項做泰勒展開，以找到與之等價的p級數。

4、對于正項級數，有積分判別法：如果x>=1且f（x）〉=0且遞減，則無窮級數（通項為f（n））與1到正無窮對f（x）作的積分同斂散。這個辦法對于某些級數特別有效。局限性：由于其本質是將級數化成了反常積分，如果化成的反常積分的收斂性難以判斷，則有可能該方法就把問題復雜化了。

5、對于正項級數，還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數與通項為1/（n^alpha）的級數做比較，如果當n充分大時，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么級數收斂。

高斯判別法將級數與通項為1/（n（lnn）^alpha）的級數做比較，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，則級數收斂。